プロフィールはLinkedInに掲載しています。
このブログの内容は個人の意見・見解の表明であり、所属組織の意見・見解を代表しません。またブログ記事の内容の正確性については一切保証いたしません。学術的なコンテンツを求めて来訪された方は、必ず学術書や論文などの資料を併せてご参照ください。
自身の学習の記録であるため、誤りも多いかと思います。後学のため、誤りを見つけた場合はコメント欄などでお知らせいただけると有難いです。
また、ブログの中で取り上げられているデータなどは、いずれも明記されていない限りはいかなる実在する企業・組織・機関の、いかなる個別の事例とも無関係です。ブログ記事内容は予告なく公開後に改変されることがあります。
繰り返しになりますが、このブログはあくまでも僕自身にとっての備忘録であり、今後同じ道を志す方の一助になればという位置付けです。以上の点をご理解の上お読み下さると有難いです。
(Image by mcmurryjulie from Pixabay)
多くの臨床試験ではその研究デザイン、目的に沿って統計的仮説検定の精度を保障するために症例数の設計が事前に行われます。仮説検定の結果はあくまで仮説を後押しするものに過ぎませんが、実験に協力してもらう被験者の数に関してはコスト面、倫理的側面から多過ぎず、少な過ぎず、”ちょうどいい”症例数を集めることが必要とされます。
今回はその一般論と、いくつかの例を紹介します。
２つの量的データの関係を視覚的にみる方法としては、散布図や回帰直線などがありますが、それ以外に関係性を見る一つの指標に相関係数があります。今回はSASのCORRプロシジャを使った相関係数の算出についてまとめます。
相関（correlation）は、二つの量的データ、確率変数が線形関係にあるという条件の下で、どれほど関係しているのかを数量的に見たものです。そのため直線的な関係以外が考えられる場合にはその利用には注意が必要です。ここでは、CORRプロシジャで算出可能な２つの相関係数についてまとめます。
ピアソンの相関係数は最も一般的に使われており、単に相関係数という場合にはこれを指しているケースがほとんどです。ピアソンの相関係数ｒは、２つの変数xi, yi（i=1, ・・・, n）が観測された場合次のように算出されます。
この共分散をそれぞれの標準偏差で割った式を見てもわかるように、分母分子の次元が一致し単位がキャンセルされるため、相関係数は単位を持たない無名数となります。また、コーシー・シュワルツの不等式より容易に、-1≦ r ≦1 となることが証明できます。２つの変数が直線的な関係にある場合には、ｒの絶対値の値は１に近づき、逆に直線的な関係がみられない場合には０に近づきます。ｒの絶対値が１の時は、得られたxとyの値は完全な直線関係にあることを意味しており、散布図と回帰直線を書くとすべての（x,y）の組は直線に乗ります。
また、ｘの値が増加したとき、ｙの値も増加する傾向がある場合には、相関係数は正の値をとり、回帰直線は右上がりになります。この場合にｘとｙの間には正の相関（positive correlated）があると言います。それに対して、ｘが増加したときｙが減少がする傾向がある場合には、回帰直線は右下がりになり、ｘとｙの間には負の相関（negative correlated）があると言えます。
このピアソンの相関係数ｒには大きく３つの限界があります。
第一に、あくまでこの相関係数は直線的な関係を見ているため、ｘとｙが非線形な関係を持つ場合には妥当な指標ではなくなることです。
第二に、データに外れ値が含まれている場合にはその扱いに注意しなければならない点です。つまり、相関係数ｒは、極端な値の影響を大きく受けてしまうということです。（外れ値に敏感）
そして第三に、相関係数は得られたデータでのｘとｙの関係性を述べたものであり、広く一般化できるものではないことです。（外装NG）
また、相関関係と因果関係をごちゃまぜにしないことも非常に重要です。
スピアマンの順位相関係数は、ノンパラメトリックな手法の一つであり、外れ値に対してより頑健な手法です。ｘとｙについてそれぞれ順位付けすることにより、以下の式で算出可能です。また、diはxiの順位とyiの順位との間の差を、nはサンプルサイズを意味しています。
このスピアマンの相関係数も、ピアソンの相関係数と同じく-1から1までの範囲をとり、絶対値が1に近い場合には直線的な関係があることを、0に近い場合には直線関係がないことを意味します。
また、順位付けを行うにあたってはタイ（同率）となる場合は考えられますが、その場合、タイの観測地については平均順位を割り付けます。
ただこのスピアマンの順位相関係数は外れ値に対して頑健であるというメリットを持ちますが、逆に分布が分かっている場合にはその情報をすべて使わないというデメリットも持ちます。
corrプロシジャの基本的なステートメントはこのようになっています。
PROC CORR
BY variables ;
FREQ variable;
ID variables;
PARTIAL variables;
VAR variables;
WEIGHT variable;
run;
それぞれの、ステートメントについては以下の通りです。
各項目のオプションについてはこちらのガイドの3P以降を参考にしてください。
SASHELP内にある、CARSデータを使って、変数間の相関係数を求めてみます。CARSデータに含まれる変数についてはこんな感じ。
今回は分析変数を馬力と、エンジンサイズ、相関変数をシリンダとMPG_Highwayとしています。
結果はこんな感じ
相関分析もこのプロシジャで実行可能なので、それもまた別でまとめます。
以下コピペ用
ods noproctitle;
ods noproctitle;
ods graphics / imagemap=on;
proc corr data=SASHELP.CARS pearson nosimple noprob plots=none;
var EngineSize Horsepower;
with Cylinders MPG_Highway;
run;
