医療統計学を学ぶ大学生のブログ

医療統計学、因果推論を専攻しています。R, SASユーザーです。

主要な分布における母関数の利用をした期待値、分散の算出

この記事はこちらの母関数についての記事の続きとなっています。母関数自体についてのまとめを見たい方はそちらをどうぞ。

norihirosuzuki.hatenablog.com

今回はいくつかの分布での母関数を用いた期待値、分散の算出を行っていきます。ちなみに統計検定1級等でも出題がありました(2019[1])。数式は相変わらずWordで張り付けたものとなっています。すみません。

 

離散型分布

二項分布

二項分布において試行回数をn、成功確率をpとするとその確率関数p(x)は

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これより、二項分布の確率母関数G(s)は

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なお2行目から3行目については、以下の二項定理においてa=tp, b=1-pとしています。

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ここで確率母関数の期待値、分散の算出式は

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であり、

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であることから

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となります。

 

ポアソン分布

次に考えるのはポアソン分布です。ポアソン分布はnp=λ(一定)とし、n→∞とした場合の確率分布です。

ポアソン分布の確率関数p(x)は、np=λより二項分布においてp=λ/nとし、n→∞とすることで

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と求めることができます。ここで青線を引いてある部分についてはn→無限大としたときに1になり、赤線の部分については以下の関係式において、y=-λとして得ています。

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ちなみにこの二項分布のポアソン分布への収束の収束のことを、ポアソンの少数の法則と呼びます。

 

というわけで、二項分布の確率母関G(t)は

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となります。また、2行目から3行目については以下のテイラー展開においてλ=tλとしたものを利用しています。

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期待値、分散は二項分布の時と同様に計算して

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負の二項分布

負の二項分布(NB)は初めてr回成功するまでの失敗回数を確率変数Xとし、パラメータを成功回数r、成功確率pとしたものです。

負の二項分布の確率関数p(x)は、r回目の成功直前までの試行と、r回目の成功をそれぞれ別に分けて考えてあげることで、

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と表すことができます。

ここで確率母関数は

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となります。この二行目への変換は以下のマクローリン展開を利用したものです。なおq=1-p, マクローリン展開におけるqをqtとした場合です。

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よってこれまでと同様にG(t)を微分し、t=1としていくことにより、以下の期待値、分散が算出されます。

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連続型分布

正規分布

正規分布N(μ, σ^2)に従う確率変数Xの確率密度関数f(x)は、

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積率母関数Φ(θ)は

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この積率母関数の導出の最後の等号に関しては、∫以降が、平均μ+θσ^2、分散σ^2の確率密度の全範囲の和であるので1となることを使っています。

積率母関数Φ(θ)のk階微分してθ=0と置いたものは、Xのk次モーメントになるので以下のように期待値、分散を導くことができます。

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