母関数の利用をした期待値、分散の算出

本記事はこちらの母関数についての記事の続きです。今回は母関数を用いていくつかの主要な分布の期待値・分散の算出を行っていきます。

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離散型確率変数

二項分布

二項分布において試行回数を、成功確率をとするとその確率関数は

これより、二項分布の確率母関数は

2行目から3行目に関しては、以下の二項定理において, としています。

ここで確率母関数を用いた期待値、分散の導出は

であり、

であることから

となります。

ポアソン分布

ポアソン分布は二項分布において（一定）、とした場合の確率分布です。ポアソン分布の確率関数は、より二項分布においてとし、とすることで

と求めることができます。ここで青線を引いてある部分についてはとしたときに1になり、赤線の部分については以下の関係式（ポアソンの少数の法則）において、として得ています。

二項分布の確率母関は

となります。2行目から3行目については以下ののテイラー展開においてとした場合の結果を利用しています。

期待値、分散は二項分布の時と同様に計算して

負の二項分布

負の二項分布は、成功確率がであり、回成功するまでの失敗回数を確率変数とした確率分布です。負の二項分布の確率関数は、回目の成功直前までの試行と、回目の成功を分けて考えることで、

と表すことができます。ここで確率母関数は

となります。この2行目への変換は以下のマクローリン展開を利用したものです。なお、であり、マクローリン展開におけるをとした場合です。

よって、これまでと同様にとすることにより、期待値と分散が算出されます。

連続型の確率分布

正規分布

正規分布に従う確率変数の確率密度関数は、

積率母関数は

最後の等号に関しては、平均、分散σ^2の確率密度関数の全範囲での積分であること（1となること）を利用しています。

積率母関数のk階微分してと置いたものは、のk次モーメントとなるため、以下のように期待値と分散を導くことができます。